[MT002]0003 - Vector Equation, Matrix Equation

1. Summary

• Vector: 하나의 column을 갖는 matrix = Column Vector
• $\mathbb{R}$: 실수(real number)의 집합
• $c$가 임의의 실수인 경우 이걸 스칼라(scalar)라 부른다.
• 기하학적인 점 $(a, b)$는 벡터 $\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$로 표현할 수 있다.
• 주어진 vector $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \cdots, \vec{v_{p}} \in \mathbb{R}^n$과 scalar $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{p}$에 대해, 다음과 같이 정의된 vector $\vec{y}$를 weight $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{p}$를 갖는 $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \cdots, \vec{v_{p}}$의 linear combination이라 부른다.
• 주어진 vector $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \cdots, \vec{v_{p}} \in \mathbb{R}^n$에 대해, 이들의 모든 linear combination의 집합을 span이라 부른다. Matrix equation $A\vec{x} = \vec{b}$가 solution을 갖기 위한 필요충분조건은 $\vec{b}$가 $A$의 columns의 span에 속하는 것이다.
• 수학 전공자가 아닌 관계로 오류가 있을 수 있습니다.

2. Vector Equation, Matrix Equation

2-1. Vector

• Vector: 하나의 column을 갖는 matrix = Column Vector
  • 아래 예시는 모두 두 개의 성분을 갖는 vector이다. \(\vec{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\) \(\vec{v} = \begin{bmatrix} 0.1 \\ 0.2 \end{bmatrix}\) \(\vec{w} = \begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \end{bmatrix}\)
  • 여기서 $w_{1}, w_{2}$는 임의의 실수이다.
  • 두 개의 성분을 갖는 vector는 2차원 공간($ \mathbb{R}^2 $)에 존재한다.
  • Ordered n-tuple: 순서가 있는 n개의 숫자의 집합
    • 다음과 같이 주로 표현한다. \(\vec{a} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}\)
  • 이때, 모든 성분이 0인 vector는 zero vector라 부른다.

    2-1-1. The meaning of $\mathbb{R}$

• $\mathbb{R}$: 실수(real number)의 집합
  • 예를 들어, 2차원 공간($ \mathbb{R}^2 $)에 존재하는 vector는 두 개의 실수를 갖는다.
  • 예를 들어, 3차원 공간($ \mathbb{R}^3 $)에 존재하는 vector는 세 개의 실수를 갖는다.
• $\mathbb{R}$: 벡터의 성분으로 나타나는 실수 집합
• $\mathbb{R}^2$ 안의 두 벡터가 서로 equal하기 위한 충분조건은 ‘대응하는 원소들이 모두 같다.’이다.
  • 따라서 $\vec{u} = \vec{v}$(equal)이면 $u_{1} = v_{1}, u_{2} = v_{2}$이다.

    2-1-2. Scalar

• 주어진 $\mathbb{R}^2$ 안의 두 vector $\vec{u}, \vec{v}$에 대해, 두 vector의 합은 아래와 같다. \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} u_{1} + v_{1} \\ u_{2} + v_{2} \end{bmatrix}\)
• 또한 주어진 vector $\vec{u}$에 대해, 벡터의 스칼라 곱은 아래와 같다. \(c\vec{u} = \begin{bmatrix} c u_{1} \\ c u_{2} \end{bmatrix}\)
• 이때, $c$는 임의의 실수이다. 이걸 스칼라(scalar)라 부른다.
  • vector는 서로 같은 성분을 갖고 있어도 모양이 다르면 같은 vector가 아니다. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}\)

2-1-3. Geometric representation of $\mathbb{R}^2$

• 기하학적인 점 $(a, b)$는 벡터 $\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$로 표현할 수 있다.

2-1-4. The algebraic property of $\mathbb{R}^n$

• 임의의 vector $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^n$에 대해, 다음이 성립한다.
  • $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
  • $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
  • $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$
  • $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$
    • $-\vec{u}$: $(-1)\vec{u}$
  • $c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v}$
  • $(c + d)\vec{u} = c\vec{u} + d\vec{u}$
  • $cd(\vec{u}) = c(d\vec{u})$
  • $1\vec{u} = \vec{u}$

2-2. Linear Combination

• 주어진 vector $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \cdots, \vec{v_{p}} \in \mathbb{R}^n$과 scalar $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{p}$에 대해, 다음과 같이 정의된 vector $\vec{y}$를 weight $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{p}$를 갖는 $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \cdots, \vec{v_{p}}$의 linear combination이라 부른다.
  • $\vec{y} = c_{1}\vec{v_{1}} + c_{2}\vec{v_{2}} + \cdots + c_{p}\vec{v_{p}}$
    • $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{p}$: 임의의 실수
  • 표현 예: \(x_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \end{bmatrix} + x_{2} \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ -2x_{1} \\ -5x_{1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2x_{2} \\ 5x_{2} \\ 6x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1} + 2x_{2} \\ -2x_{1} + 5x_{2} \\ -5x_{1} + 6x_{2} \end{bmatrix}\)

2-2-1. Span

• 주어진 vector $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \cdots, \vec{v_{p}} \in \mathbb{R}^n$에 대해, 이들의 모든 linear combination의 집합을 span이라 부른다.
  • 표현 예: \(\text{span}\{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \cdots, \vec{v_{p}}\} = \{c_{1}\vec{v_{1}} + c_{2}\vec{v_{2}} + \cdots + c_{p}\vec{v_{p}} \mid c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{p} \in \mathbb{R}\}\)

2-3. Matrix Equation

• $A$가 $a_{1}, \cdots, a_{n}$을 column으로 갖는 $m \times n$ matrix이고, $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$이면, $A$와 $\vec{x}$의 곱은 $A\vec{x}$라 쓰고, $A$의 columns와 이에 대응하는 $x$의 성분들을 weight로 하는 linear combination이다.
  • 표현 예: \(A\vec{x} = \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = x_{1}a_{1} + x_{2}a_{2} + \cdots + x_{n}a_{n}\)
  • $A\vec{x}$는 $A$의 columns 개수와 $x$의 성분 개수가 같을 때에만 정의된다.
• 아래는 $A\vec{x} = \vec{b}$의 예시이다. \(\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)

  2-3-1. Solution of Matrix Equation

• Matrix equation $A\vec{x} = \vec{b}$가 solution을 갖기 위한 필요충분조건은 $\vec{b}$가 $A$의 columns의 span에 속하는 것이다.

2-3-2. Properties of $A\vec{x}$

• 임의의 $A$와 $\vec{x}, \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^n$이며, $c$가 scalar일 때, 다음이 성립한다.
  • $A(\vec{u} + \vec{v}) = A\vec{u} + A\vec{v}$가 solution을 갖는다.
  • $A(c\vec{u}) = c(A\vec{u})$

출처

1. Linear Algebra and its Applications, David C. Lay, 5th Edition, 백주훈 옮김(ISBN: 989-11-954449-9-1) - 책
2. Essence of Linear Algebra, 3Blue1Brown, 2016 - 영상