1. Summary
- Gaussian elimination: matrix를 이용해 linear system을 푸는 방법
- Row echelon form: matrix의 한 형태로, 대각선을 기준으로 위 쪽에 0이 아닌 숫자가 있고 아래 쪽에 0이 있는 형태
- Reduced echelon form: matrix의 한 형태로, 대각선 상의 성분이 모두 1이고 해당 성분 외에 나머지 성분이 모두 0인 형태
- Pivot position: matrix의 leading entry(pivot) 위치
- Pivot column: pivot position이 속한 column
- Free variable: 임의의 값을 넣을 수 있는 변수
- Linear system의 solution이 존재하는 경우, free variable의 존재 여부에 따라 solution의 유일성(uniqueness)이 결정된다.
- 수학 전공자가 아닌 관계로 오류가 있을 수 있습니다.
- Echelon form은 matrix의 한 형태로, matrix의 대각선을 기준으로 위 쪽에 0이 아닌 숫자가 있고 아래 쪽에 0이 있는 형태를 의미한다.
- leading entry(pivot): 각 행을 왼쪽에서부터 읽었을 때, 처음으로 0이 아닌 성분
- 모든 성분이 0인 row는 모두 최하단에 위치한다.
- leading entry를 비교하면 leading entry가 왼쪽에 있는 row가 column도 더 위쪽에 있다.
- 아래 예시는 모두 echelon form이다.
\(\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix}
\end{equation}\)
\(\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \\
0 & 4 & 5 & 6 \\
0 & 0 & 6 & 7
\end{bmatrix}
\end{equation}\)
- Reduced echelon form: echelon form에서 대각선 상의 숫자가 모두 1이고 대각선 상의 숫자 아래에 있는 숫자가 모두 0인 경우를 의미한다.
- leading one: leading entry가 1인 경우
- leading one가 속한 column의 성분은 모두 0이다.
- 아래 예시는 reduced echelon form이다.
\(\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 6 \\
0 & 0 & 1 & 7
\end{bmatrix}
\end{equation}\)
2-2. Pivot Position
- Pivot position: matrix의 leading entry 위치
- Pivot column: pivot position이 속한 column
\(\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\
0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\
0 & 5 & 10 & -15 & -15 \\
0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\
\end{bmatrix}
\end{equation}\)
- 위 matrix에서 첫 번째 column의 첫 번째 성분은 pivot position이다.
\(\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\
0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -5 & 0
\end{bmatrix}
\end{equation}\)
- 위 matrix에서 두 번째 column의 두 번째 성분은 pivot position이다.
\(\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\
0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\
0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{equation}\)
- 위 matrix에서 네 번째 column의 세 번째 성분은 pivot position이다.
- 그러므로 위 matrix의 pivot position(column, row)은 (1,1), (2,2), (4,3)이다.
- 또한 위 matrix의 pivot column은 1, 2, 4이다.
- Linear system의 solution은 reduced echelon form을 이용해 구할 수 있다.
- 특정 matrix가 아래와 같이 reduced echelon form으로 변환되었을 때,
\(\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -5 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{equation}\)
- 이를 linear system으로 나타내면 아래와 같다.
\(x_1-5x_3=1 \\ x_2+x_3=4 \\ 0=0\)
- 이를 풀면 아래와 같다.
\(x_1=1+5x_3 \\ x_2=4-x_3 \\ x_3=x_3\)
- 따라서 solution은 $x_1=1+5x_3, x_2=4-x_3, x_3=x_3$이다.
- 이때, $x_3$는 자유변수(free variable)라 부른다.
- 자유변수는 임의의 값을 넣을 수 있는 변수를 의미한다.
2-2-2. Free Variable
- 자유변수(free variable): 임의의 값을 넣을 수 있는 변수
- Linear system의 solution이 존재하는 경우,
- Free variable이 있는 경우, solution은 무한히 많다. -> solution이 unique하지 않다(non-unique).
- Free variable이 없는 경우, solution은 단 하나이다(unique).
- Linear system의 solution이 존재하지 않는 경우, solution이 존재하지 않는다(no solution).
출처
- Linear Algebra and its Applications, David C. Lay, 5th Edition, 백주훈 옮김(ISBN: 989-11-954449-9-1) - 책
- Essence of Linear Algebra, 3Blue1Brown, 2016 - 영상
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