1. Summary
- Linear equation: coefficient가 모두 1차 항인 방정식
- Linear system: 동일한 형태의 linear equation이 1개 또는 그 이상이 모인 것
- Solution: Linear equation의 각 변수에 특정 값들을 넣었을 때, linear system의 모든 linear equation이 성립하는 특정 값들
- Matrix: linear system을 직사각형 배열의 형태로 간결하게 표현한 것
- Linear equation과 matrix는 각 coefficient를 좌표축(axis)으로 삼아 좌표계에 나타낼 수 있다.
- 수학 전공자가 아닌 관계로 오류가 있을 수 있습니다.
2. Linear Equation & Matrix
2-1. Linear equation
- Linear equation은 보통 아래의 형태로 쓸 수 있는 방정식을 의미
- Coefficient가 모두 1차 항인 방정식
\(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b\)
- Linear equation의 예
\(x_1+2x_2-3x_3=x_4 \\
x_1+3=-x_2\)
- Linear equation이 아닌 예
\(2x_1x_2-x_3=0 \\
x_1=\sqrt{x_2}+3\)
- $x_1x_2$, $\sqrt{x_2}$의 존재로 인해 Linear equation이 아니다.
2-2. System of linear equations(Linear system)
- 동일한 형태의 linear equation이 1개 또는 그 이상이 모인 것
- Linear system 예시
\(2x_1-x_2+x_3=0 \\
2x_1+x_3=2\)
2-2-1. Solution
- Linear equation의 각 변수에 특정 값들을 넣었을 때, linear system의 모든 linear equation이 성립하는 특정 값들
- Solution set: 해당 값들을 모아 놓은 집합
- Equivalent: 두 linear system의 solution set이 일치할 경우
- Solution 예시
\(x_1+x_2=2, x_1-x_2=0\)
- 위와 같은 linear system에서 $x_1=1,x_2=1$이 성립하므로 solution은 $x_1=1,x_2=1$이다.
- Consistent: linear system이 하나 혹은 무한히 많은 solution을 갖는 경우
- Inconsistent: linear system이 하나의 solution도 갖지 못하는 경우
2-3. Matrix
- Linear system을 직사각형 배열의 형태로 간결하게 표현한 것
- Coefficient matrix: Linear equation의 각각의 변수에 대한 계수(coefficient)를 아래와 같이 정렬한 것
\(\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\end{equation}\)
- 위 matrix는 아래 linear system과 같다.
\(x_1+2x_2+3x_3=1 \\ 4x_1+5x_2+6x_3 =2\\ 7x_1+8x_2+9x_3=3\)
- Augmented matrix: coefficient matrix에 linear equation 우변의 상수들로 이루어진 column을 추가한 것.
\(\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \\
4 & 5 & 6 & 2 \\
7 & 8 & 9 & 3
\end{bmatrix}
\end{equation}\)
- 위 augmented matrix는 아래 linear system과 같다.
\(x_1+2x_2+3x_3=1 \\ 4x_1+5x_2+6x_3 =2\\ 7x_1+8x_2+9x_3=3\)
- Size: matrix가 몇 개의 row와 column으로 이루어져 있는지를 나타낸 것.
- 아래 matrix의 size는 3 x 4로 3 by 4 matrix 라고 읽는다.
\(\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \\
4 & 5 & 6 & 2 \\
7 & 8 & 9 & 3
\end{bmatrix}
\end{equation}\)
2-4. Other view
- Linear equation과 matrix는 각 coefficient를 좌표축(axis)으로 삼아 좌표계에 나타낼 수 있다.
- 아래 그래프는 아래 linear system을 좌표계에 나타낸 것이다.
\(x_1+x_2=2, x_1-x_2=0\)
- 위 그래프는 아래와 같은 좌표계에 나타낼 수 있다.
\(\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
\end{equation}\)
출처
- Linear Algebra and its Applications, David C. Lay, 5th Edition, 백주훈 옮김(ISBN: 989-11-954449-9-1) - 책
- Essence of Linear Algebra, 3Blue1Brown, 2016 - 영상
- 그래프 그리기 툴 - Desmos
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